Exploración teórica de algunos objetos y conceptos de las geometrías no euclidianas y sus aplicaciones.

Abstract

El trabajo analiza la evolución del razonamiento geométrico desde la geometría euclidiana hasta las geometrías no euclidianas, destacando su impacto en la matemática, la física y el arte. Se expone cómo la sistematización axiomática realizada por Euclides en Los Elementos consolidó un modelo deductivo que dominó el pensamiento científico durante más de dos mil años. El cuestionamiento del quinto postulado dio origen a nuevas geometrías en el siglo XIX. Matemáticos como Nikolai Lobachevsky, János Bolyai y Bernhard Riemann demostraron que podían construirse sistemas lógicamente coherentes distintos al euclidiano.

La geometría hiperbólica plantea la existencia de infinitas paralelas por un punto exterior a una recta, mientras que la elíptica niega la existencia de paralelas. Estas propuestas transformaron la concepción del espacio y rompieron el absolutismo geométrico. El trabajo desarrolla sistemas teóricos locales para modelar ambas geometrías y explicar sus propiedades fundamentales.

Se analiza su aplicación en la teoría de la relatividad general de Albert Einstein, donde la geometría riemanniana describe la curvatura del espacio-tiempo causada por la materia y la energía. También se estudia la aplicación de la geometría hiperbólica en la obra Circle Limit III de M. C. Escher, evidenciando la relación entre matemática y arte.

Finalmente, se concluye que las geometrías no euclidianas ampliaron la comprensión del universo y fortalecen la formación crítica de los futuros educadores matemáticos, al mostrar que la matemática es una construcción histórica, dinámica y creativa.